핵심 이해
중심만으로는 자료의 모습을 알 수 없습니다
평균이 100인 두 집단이 있어도 하나는 모든 값이 100 근처에, 다른 하나는 넓은 범위에 놓일 수 있습니다. 분산과 표준편차는 각 관측이 평균에서 얼마나 떨어져 있는지를 이용해 이런 퍼짐을 요약합니다.
이 장에서는 계산 과정, 제곱과 단위, n과 n−1의 구분, 극단값과 단위 변환의 영향을 익힙니다. 선수 개념은 산술평균과 IQR입니다.
편차와 제곱
부호가 상쇄되지 않도록 크기를 모읍니다
편차는 관측값에서 평균을 뺀 값입니다. 평균보다 작으면 음수, 크면 양수입니다. 평균을 기준으로 한 편차를 모두 더하면 0이 되므로 그 합만으로는 퍼짐을 나타낼 수 없습니다.
제곱하면 부호가 사라지고 멀리 떨어진 값의 영향이 커집니다. 편차가 10에서 20으로 두 배가 되면 제곱은 100에서 400으로 네 배가 됩니다. 제곱만이 유일한 방법은 아닙니다. 절댓값을 모으는 방법도 있지만 그것은 다른 퍼짐 지표가 됩니다.
그림 2의 자료를 그 자체로 요약하면 분산은 800÷3≈266.67이고, 그 제곱근인 표준편차는 약 16.33입니다. 절대편차의 평균은 (20+0+20)÷3≈13.33으로 다릅니다. 표준편차를 ‘평균에서 떨어진 절대거리의 평균’과 같은 값으로 읽지 않습니다.
공식과 단위
분산은 제곱 단위, 표준편차는 원래 단위입니다
관측한 n개 값을 하나의 자료 집합으로 기술할 때는 평균 x̄를 구하고, 분산 = Σ(xᵢ−x̄)² ÷ n으로 계산할 수 있습니다. Σ는 모든 관측에 대해 더한다는 뜻입니다. 표준편차는 이 분산의 제곱근입니다.
모집단 전체 N개를 알고 있다면 같은 방식으로 모집단 평균 μ와 모집단 분산 σ²=Σ(xᵢ−μ)²÷N을 구합니다. 일부 표본으로 더 큰 모집단의 분산을 추정할 때는 아래에서 설명하는 n−1 보정을 구별해서 사용합니다.
단가의 단위가 만원/㎡라면 편차도 만원/㎡, 분산은 (만원/㎡)², 표준편차는 다시 만원/㎡입니다. 분산 266.67을 ‘단가가 평균에서 266.67만원 떨어져 있다’고 읽으면 단위가 맞지 않습니다.
분산과 표준편차는 0 이상입니다. 모든 값이 같을 때 0이며, 표준편차가 크다는 말은 평균에서의 제곱편차가 큰 편이라는 뜻입니다. 반드시 최솟값·최댓값의 차이도 더 크다는 뜻은 아닙니다.
30건 계산 예제
원자료의 평균을 기준으로 제곱편차를 더합니다
공통 학습 예시 30건의 평균은 4,390÷30=146.333…입니다. 계산 중에는 이 값을 반올림하지 않습니다. 원자료 표와 JSON 자료를 확인할 수 있습니다. 실제 거래 출처가 확인되지 않은 학습 예시이며 실제 시장의 변동성을 뜻하지 않습니다.
제곱편차 합은 약 192,760.67입니다. 이를 30으로 나누면 분산은 6,425.36, 제곱근을 구하면 표준편차는 80.16만원/㎡입니다. 표시 자릿수에 따라 80.2로 적을 수 있습니다.
| 단계 | 값 | 단위 |
|---|---|---|
| 관측 수 | 30 | 건 |
| 평균 | 146.333… | 만원/㎡ |
| 제곱편차 합 | 192,760.67 | (만원/㎡)² |
| n으로 나눈 분산 | 6,425.36 | (만원/㎡)² |
| 표준편차 | 80.16 | 만원/㎡ |
n과 n−1
기술하는 목적과 추정하는 목적을 구별합니다
독립적이고 같은 분포에서 얻은 표본으로 유한한 모집단 분산을 추정할 때는 표본분산 s²=Σ(xᵢ−x̄)²÷(n−1)을 사용합니다. 모집단 평균 대신 같은 표본에서 구한 평균을 쓰면 제곱편차가 평균적으로 작아지는 점을 보정합니다.
공통 예제에서 29로 나눈 분산은 6,646.92, 표본표준편차 s는 81.53만원/㎡입니다. 30건 중 한 건을 버리는 것이 아닙니다. 같은 30개 편차제곱을 더하고 분모만 29로 바꿉니다.
편차들의 합이 0으로 정해져 있으므로 n−1개 편차가 정해지면 마지막 편차도 정해집니다. 이를 자유도 n−1과 연결해 이해할 수 있습니다. n−1 보정이 분산을 불편추정량으로 만드는 것은 위 표집 가정 아래에서의 성질이며, 수집 편향이나 관측 간 의존성을 없애 주지는 않습니다.
분산이 불편추정량이라고 해서 그 제곱근인 표준편차도 정확히 불편추정량인 것은 아닙니다. n=1이면 n−1 방식은 계산할 수 없습니다. 표본이 작을수록 두 분모의 차이가 커지므로 사용한 규칙을 표시해야 합니다.
극단값과 다른 퍼짐 지표
큰 편차는 제곱합에 크게 기여합니다
공통 자료의 7번 단가는 480입니다. 평균과의 차이가 크므로 제곱편차 합에도 큰 영향을 줍니다. 포함한 결과와 제외한 결과를 함께 계산하면 그 영향을 확인할 수 있습니다.
7번을 제외하면 평균부터 다시 계산해야 합니다. 나머지 29건의 평균은 약 134.83이며, 29로 나눈 표준편차는 약 51.72입니다. 같은 퍼짐을 계산하면서 분모만 바꾼 그림 3과 달리, 여기서는 관측 집합과 평균이 모두 달라졌습니다.
어느 결과가 더 작다는 이유로 관측을 삭제하지 않습니다. 기록 오류인지, 조건이 다른 거래인지, 유효한 큰 값인지 확인해야 합니다. IQR은 가운데 부분을 중심으로 읽고 표준편차는 모든 제곱편차를 반영하므로 두 지표가 다른 인상을 줄 수 있습니다. 07장에서 판단 기준을 이어서 다룹니다.
단위 변환과 상대적 퍼짐
상수를 더할 때와 곱할 때의 효과는 다릅니다
모든 관측에 같은 상수 c를 더하면 평균도 c만큼 이동하므로 평균에서의 편차는 그대로입니다. 따라서 분산과 표준편차는 바뀌지 않습니다. 모든 값에 a를 곱하면 분산은 a²배, 표준편차는 |a|배가 됩니다.
가상 자료 80·100·120에 100을 더해 180·200·220으로 바꾸면 표준편차는 둘 다 약 16.33입니다. 원래 값을 두 배로 바꾼 160·200·240에서는 표준편차가 약 32.66, 분산은 약 1,066.67로 네 배가 됩니다. 이 예제는 각 자료의 건수로 나눈 계산입니다.
서로 다른 단위로 표시한 표준편차를 숫자 크기만으로 비교하지 않습니다. 같은 단위에서도 평균 수준이 크게 다르면 상대적인 퍼짐을 따로 보고 싶을 수 있습니다. 변동계수(CV)는 표준편차÷평균으로 계산하지만, 의미 있는 0을 갖는 비율척도에서 평균이 양수이고 0에서 충분히 떨어져 있을 때 신중하게 사용합니다. 평균이 0 근처면 값이 불안정해집니다.
해석의 한계
표준편차는 신뢰구간도 예측오차도 아닙니다
표준편차는 관측값들의 퍼짐입니다. 평균 추정값이 표본마다 얼마나 달라질지를 나타내는 표준오차와는 다릅니다. 표본수가 늘어도 자료 자체의 표준편차가 반드시 작아지는 것은 아닙니다. 이 구분은 11장에서 자세히 설명합니다.
평균±표준편차 안에 항상 약 68%가 있다는 규칙도 아닙니다. 약 68%라는 수치는 정규분포에서의 성질이며, 치우치거나 여러 집단이 섞인 분포에 그대로 적용할 수 없습니다. 평균±표준편차를 95% 신뢰구간으로 읽어서도 안 됩니다.
모형의 예측값이 없다면 관측 단가의 표준편차를 그 모형의 예측오차라고 부를 수 없습니다. 거래 유형·면적·시점이 섞여 생기는 퍼짐과 예측값에서 벗어난 오차는 계산 대상이 다릅니다.
확인 문제
분모·단위·계산 대상을 확인하세요
- 80·100·120의 편차 합이 0이면 퍼짐도 0인가요?
답과 해설
아니요. 음수와 양수가 상쇄된 것입니다. 제곱편차 합은 800이고 n으로 나눈 표준편차는 약 16.33입니다.
- 같은 30건의 제곱편차 합을 29로 나누면 한 건을 제거한 것인가요?
답과 해설
아니요. 관측은 모두 유지하고 분모를 보정한 것입니다. 한 건을 제거한다면 평균과 제곱편차 합도 다시 계산해야 합니다.
- 모든 단가를 두 배로 바꾸면 분산과 표준편차는 각각 어떻게 되나요?
답과 해설
편차가 두 배가 되므로 분산은 네 배, 표준편차는 두 배가 됩니다. 같은 상수를 더하기만 하면 두 퍼짐 지표는 변하지 않습니다.
CH2 Macro에서 읽기
선택한 거래의 퍼짐으로 읽습니다
CH2 Macro의 기본통계에서 퍼짐을 읽을 때는 지역·기간·유형과 건수, 단위, 제공된 산식 설명을 함께 확인하세요. 이 장의 n 또는 n−1 계산 관례가 모든 화면의 구현과 같다고 가정하지 않습니다.
서로 다른 거래 유형이나 기간을 묶으면 퍼짐의 원인이 달라질 수 있습니다. 표준편차가 크다는 사실만으로 데이터 오류나 특정 물건의 가격 위험을 단정하지 않습니다. 평균·중위·분위수와 분포를 함께 읽는 것이 도움이 됩니다.
정리와 참고자료
퍼짐의 숫자에는 계산 목적과 단위를 붙입니다
분산은 평균에서의 제곱편차를 모아 만든 지표이고, 표준편차는 원래 단위로 되돌린 값입니다. n과 n−1의 선택, 큰 관측값, 단위 변환이 결과에 미치는 영향을 구별해 읽습니다.
다음 07장 「이상치와 IQR」에서는 떨어진 관측을 발견하고 확인하는 절차를 살펴봅니다.
- NIST/SEMATECH: Measures of Scale — 분산·표준편차와 다른 퍼짐 지표.
- OpenStax, Introductory Statistics 2e §2.7 — 퍼짐 지표의 계산과 해석.
본문과 그림은 공통 자료와 별도 가상 예제로 작성했습니다. 반올림은 표시 단계에서만 적용합니다. 참고자료 확인: 2026-10-07.