핵심 이해
가운데뿐 아니라 분포의 여러 위치를 봅니다
중앙값은 정렬한 자료의 가운데를 요약합니다. 그렇다면 아래쪽 25%와 위쪽 25%를 가르는 값은 무엇일까요? 분위수는 이런 여러 위치를 나타내는 값입니다. 이를 이용하면 중심뿐 아니라 자료 가운데 부분의 퍼짐도 읽을 수 있습니다.
이 장에서는 백분위수·사분위수와 백분위 순위를 구별하고, 공통 예제의 사분위수를 계산한 뒤 상자와 수염을 해석합니다. 선수 개념은 중앙값과 분포의 모양입니다.
분위수와 백분위 순위
비율에 대응하는 값과 값의 순위를 구별합니다
p분위수는 분포에서 아래쪽 누적 비율 p에 대응하는 값입니다. p=0.25이면 25백분위수, p=0.75이면 75백분위수라고 합니다. 연속적인 분포에서는 그 값 아래에 놓이는 비율로 직관적으로 이해할 수 있습니다. 유한한 표본에서는 관측 개수와 동점 때문에 정확히 그 비율로 나뉘지 않을 수 있습니다.
단가의 75백분위수가 168만원/㎡라는 말에서 75는 위치를 지정하는 비율이고 168은 단가입니다. 이를 단가가 평균보다 75% 높다는 뜻으로 읽지 않습니다. 반대로 ‘단가 168이 자료에서 어느 위치인가’를 묻는 것은 백분위 순위의 질문입니다.
예를 들어 100·100·100·200에서 100보다 작은 관측의 비율은 0%, 100 이하의 비율은 75%입니다. 동점을 어떻게 처리하는지에 따라 순위 표현이 달라지므로, 값 아래인지 이하인지와 순위 산정 규칙을 확인해야 합니다.
사분위수 계산
정렬한 자료를 두 번 나눕니다
Q1·Q2·Q3는 각각 25·50·75백분위수에 해당하는 사분위수입니다. Q2는 중앙값입니다. 이 장의 공통 자료 30건은 앞 장과 같으며, 실제 거래 출처가 확인되지 않은 학습 예시입니다. 전체 표와 원자료를 함께 볼 수 있습니다.
먼저 전체 중앙값은 (120+124)÷2=122입니다. 하위 15건의 가운데인 8번째 값은 98이므로 Q1=98입니다. 상위 15건의 가운데는 전체의 23번째 값인 168이므로 Q3=168입니다.
자료 수 30의 25%는 7.5건입니다. 관측을 반 건으로 셀 수 없기 때문에 사분위수 아래에 정확히 7.5건이 있는 것은 아닙니다. 이 규칙에서는 98 이하가 8건이고, 98~168에 양 끝을 포함하면 16건입니다. ‘상자는 가운데 50%를 요약한다’는 뜻과 표본에서 경계값을 포함해 센 실제 건수는 구분합니다.
IQR과 상자
상자의 길이는 가운데 부분의 퍼짐입니다
사분위범위(IQR)는 Q3−Q1입니다. 공통 자료에서는 168−98=70만원/㎡입니다. 상자는 Q1에서 Q3까지 그리고 내부 선은 중앙값에 놓습니다. 따라서 상자의 양 끝은 평균에서 같은 거리일 필요가 없습니다.
상자가 짧으면 가운데 부분이 상대적으로 좁은 범위에 모였다는 뜻입니다. 전체 범위가 좁거나 모든 관측이 비슷하다는 뜻은 아닙니다. 이 자료는 가운데 부분의 길이가 70인 반면 전체 범위는 480−62=418입니다.
가로로 그린 상자에서는 가로 길이가 IQR입니다. 세로로 그린 상자에서는 세로 길이가 IQR입니다. 상자의 다른 방향 두께는 보통 장식적인 너비이며, 표본수에 비례하도록 설계한 경우에는 그 규칙이 따로 표시되어야 합니다.
수염과 별도 점
수염 끝과 이상치 경계는 다릅니다
상자그림에는 수염을 최솟값·최댓값까지 그리는 방식과 IQR 경계를 사용하는 방식이 있습니다. 앞 장부터 이 과정에서 사용하는 이상치 표시 방식은 Q1−1.5×IQR과 Q3+1.5×IQR을 경계로 삼습니다.
이 자료의 경계는 98−105=−7과 168+105=273입니다. 경계 안에 놓인 실제 관측 중 가장 작은 62와 가장 큰 268까지 수염을 그립니다. 따라서 큰 값 쪽 수염 끝은 경계 273도, 최댓값 480도 아닌 268입니다. 480은 별도 점으로 표시합니다.
−7이라는 계산 결과가 음수 단가를 관측했다는 뜻은 아닙니다. 이는 탐지 규칙으로 정한 경계일 뿐입니다. 별도 점도 오류나 삭제 대상이라는 판정이 아니라 확인할 관측이라는 표시입니다. 구체적인 처리 판단은 07장 「이상치와 IQR」에서 이어집니다.
집단 비교
같은 축과 계산 규칙으로 나란히 봅니다
집단을 비교할 때는 각 집단 안에서 사분위수를 다시 계산합니다. 전체 자료의 경계로 각 집단의 상자를 대신 그리지 않습니다. 공통 예제의 주거·상업은 각각 15건이므로 홀수 자료 규칙에 따라 각 집단의 중앙 관측을 제외한 아래 7건·위 7건의 중앙값을 사용합니다.
주거의 중앙값은 105, IQR은 120−88=32입니다. 상업의 중앙값은 168, IQR은 235−124=111입니다. 이 자료에서는 상업 집단의 중심이 높고 가운데 부분도 더 넓게 퍼져 있습니다.
이 차이를 모든 주거·상업 시장의 차이나 용도의 인과 효과로 일반화하지는 않습니다. 표본 구성·다른 조건·수집 범위를 함께 보아야 합니다. 상자의 겹침 여부만으로 통계적 유의성을 판정하지도 않습니다.
상자그림은 두 봉우리나 빈 구간을 숨길 수 있습니다. 값이 몇 개 안 되거나 같은 값이 반복되어 상자가 선처럼 보일 때는 원래 점이나 히스토그램을 함께 봅니다. 상자가 좁다는 사실만으로 평균의 추정이 정밀하다고 판단할 수도 없습니다.
계산 관례의 차이
프로그램마다 다른 값이 나올 수 있습니다
표본 분위수에는 여러 계산 관례가 있습니다. 앞에서 쓴 두 절반의 중앙값 방식 외에 정렬된 두 값 사이를 선형 보간하는 방식도 있습니다. 자료가 작거나 값 사이 간격이 크면 차이가 더 눈에 띌 수 있습니다.
예를 들어 선형 보간 방식 중 type 7은 1부터 세는 위치 h=1+(n−1)p를 사용합니다. n=30, p=0.25라면 h=8.25이므로 8번째 98에서 9번째 102로 가는 간격의 25%를 더해 Q1=99입니다. p=0.75에서는 h=22.75이므로 160+0.75×(168−160)=166입니다.
이 장은 기존 공통 예제와의 일관성을 위해 두 절반 방식을 기본으로 유지합니다. 프로그램 결과를 비교할 때는 같은 원자료인지, 결측 처리·가중치·계산 옵션이 같은지 먼저 확인하세요. 분위수를 구하는 함수와 상자그림 함수가 같은 규칙을 쓰는지도 확인해야 합니다.
확인 문제
경계와 관측값을 구별해 보세요
- Q1=98, Q3=168일 때 IQR과 큰 값 쪽 1.5×IQR 경계는 얼마인가요? 수염도 그 경계까지 가나요?
답과 해설
IQR은 70이고 경계는 168+105=273입니다. 수염은 경계 안의 실제 관측값인 268까지 갑니다.
- 75백분위수가 168만원/㎡이면 단가가 평균보다 75% 높다는 뜻인가요?
답과 해설
아니요. 75는 정렬 분포 안의 위치를 지정하는 비율입니다. 평균 대비 상승률이 아니며 168은 단가 단위를 갖는 값입니다.
- 다른 프로그램에서 Q1=99, Q3=166이 나왔다면 오류인가요?
답과 해설
같은 자료라도 type 7 선형 보간을 사용하면 그 값이 나옵니다. 원자료와 계산 관례를 맞춰 비교해야 합니다.
CH2 Macro에서 읽기
25%값·중위·75%값을 함께 읽습니다
CH2 Macro 토지 기본통계의 25%값·중위·75%값은 단가 분포의 여러 위치를 읽는 데 도움이 됩니다. 이를 개별 물건의 저평가·고평가 경계로 해석하지 않고, 선택한 거래 집단의 분포 요약으로 읽습니다.
교재의 계산 관례를 서비스의 실제 산식과 같다고 가정하지 않습니다. 서비스 결과와 직접 대조하려면 동일한 지역·기간·필터·원자료 및 분위수 산식을 먼저 확인해야 합니다.
정리와 참고자료
위치·퍼짐·규칙을 함께 확인하세요
분위수는 누적 비율에 대응하는 값입니다. Q1·중앙값·Q3로 상자를 만들고 IQR로 가운데 부분의 퍼짐을 요약합니다. 수염의 규칙과 계산 관례를 알아야 점과 경계도 정확하게 읽을 수 있습니다.
다음 06장 「분산과 표준편차」에서는 각 관측이 평균에서 얼마나 떨어져 있는지를 이용해 퍼짐을 측정합니다.
- NIST/SEMATECH: Box Plot — 상자그림의 구성과 수염의 변형.
- R 공식 문서: Sample Quantiles — 분위수 계산 유형과 선형 보간.
본문과 그림은 이 과정의 자료로 새로 작성했습니다. 그림 1은 개념도입니다. 참고자료 확인: 2026-10-07.