08. 확률의 기초와 조건부확률

핵심 이해

확률을 읽기 전에 어떤 경우를 세는지 정합니다

‘주거 거래일 확률’과 ‘면적이 큰 거래 중 주거일 확률’은 다릅니다. 앞 문장은 전체를, 뒤 문장은 조건에 맞는 일부를 기준으로 삼습니다. 확률을 이해하는 첫 단계는 대상과 조건, 분모를 정확히 정하는 것입니다.

이 장에서는 사건의 연산, 조건부확률, 독립, 곱셈법칙과 베이즈 정리를 배웁니다. 모집단과 표본을 먼저 익히면 관측 비율과 모집단 확률을 구별하는 데 도움이 됩니다. 여기의 100건·1,000건은 설명을 위해 별도로 만든 가상 자료이며 앞 장의 공통 30건과 다릅니다.

표본공간과 사건

한 번의 결과와 결과의 묶음을 구별합니다

우연에 따라 결과가 정해지는 시행에서 가능한 결과 전체를 표본공간 Ω, 관심 있는 결과의 집합을 사건이라고 합니다. 예를 들어 고정된 목록 100건에서 각 건이 같은 확률로 뽑히도록 한 건을 추출하면, 결과는 선택된 거래의 ID이고 Ω는 100개 ID의 집합입니다.

A를 ‘주거’, B를 ‘면적 100㎡ 이상’으로 정하겠습니다. A∩B는 둘 다 해당하는 교집합, A∪B는 적어도 하나에 해당하는 합집합, Aᶜ는 주거가 아닌 여사건입니다. 합집합의 ‘또는’에는 둘 다 해당하는 경우도 포함합니다.

이 예제는 유형과 면적의 결측이 없고 두 분류가 각각 전체를 빠짐없이 나눈다고 가정합니다. 실제 자료에서는 결측을 어느 분모에서 제외했는지도 밝혀야 합니다. 예제의 집계값 JSON을 확인할 수 있습니다.

확률의 기본 규칙

겹치는 경우를 두 번 더하지 않습니다

확률은 0 이상 1 이하이며 P(Ω)=1입니다. 여사건은 P(Aᶜ)=1−P(A), 합집합은 P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)로 계산합니다. 겹치는 부분을 한 번 빼야 중복 계산하지 않습니다.

각 ID를 같은 확률로 선택하는 이 목록에서는 P(A)=40/100=0.40, P(B)=30/100=0.30, P(A∩B)=18/100=0.18입니다. 따라서 P(A∪B)=0.40+0.30−0.18=0.52이고, 둘 다 아닌 확률은 0.48입니다.

‘해당 건수÷전체 건수’는 가능한 개별 결과들이 같은 확률일 때 바로 적용할 수 있습니다. 선택 확률이 다르면 각 결과의 확률을 더해야 합니다. 실제 표본의 관측 비율을 더 큰 모집단의 확률로 추정하려면 대표성과 표집 설계도 검토해야 합니다.

확률 0.4라고 해서 독립적인 10회 시행에서 반드시 4회 발생하는 것은 아닙니다. 같은 조건에서 반복한 상대도수는 흔들릴 수 있습니다. 확률 모형과 한 번 관측한 빈도를 구별하세요.

조건부확률

조건 뒤의 사건이 새로운 분모가 됩니다

P(A|B)는 ‘B라는 조건에서 A일 확률’입니다. P(B)>0일 때 P(A|B)=P(A∩B)/P(B)입니다. 세로선 오른쪽이 조건입니다. 조건이 시간상 먼저 발생해야 한다는 뜻은 아닙니다.

B인 30건만 놓고 보면 그중 A는 18건이므로 P(A|B)=18/30=0.60입니다. 반대로 A인 40건 중 B는 18건이므로 P(B|A)=18/40=0.45입니다. 조건의 방향을 뒤집으면 같은 값이 된다고 보장할 수 없습니다.

조건에 해당하는 건이 0건이면 이 빈도 방식으로 조건부확률을 계산할 수 없습니다. 0%라고 쓰는 대신 ‘해당 자료 없음’으로 구분해야 합니다. 또한 조건부 비율의 차이만으로 면적이 유형을 ‘원인으로서 바꾼다’고 말할 수 없습니다.

독립과 배반

서로 영향을 주지 않는 것과 함께 일어날 수 없는 것은 다릅니다

사건 A와 B가 독립이면 P(A∩B)=P(A)P(B)입니다. P(B)>0일 때는 P(A|B)=P(A)와 같습니다. B를 안다고 A의 확률이 달라지지 않는다는 뜻입니다. 가상 목록은 0.18≠0.40×0.30이므로 이 추출 실험에서 A와 B는 독립이 아닙니다.

배반은 두 사건이 동시에 일어날 수 없어 A∩B가 공집합인 경우입니다. 한 번 뽑은 거래가 주거이면서 비주거일 수 없다는 설정이 그 예입니다. 두 사건의 확률이 모두 양수라면 배반인 사건들은 독립이 아닙니다. 하나가 일어나면 다른 하나의 가능성이 0이 되기 때문입니다.

공정한 동전을 두 번 독립적으로 던지는 모형에서 첫째 앞면과 둘째 앞면의 교집합 확률은 1/2×1/2=1/4입니다. 반면 목록에서 비복원으로 두 건을 추출하면 앞의 선택이 뒤의 구성에 영향을 줍니다. 가상 100건에서 주거 두 건을 뽑을 확률은 (40/100)×(39/99)≈15.76%이며, 복원해 독립적으로 뽑는 경우의 16%와 다릅니다.

표본 비율이 우연히 비슷하다는 사실만으로 모집단의 독립을 입증할 수는 없습니다. 여기서는 고정된 가상 목록의 추출 확률을 계산하고 있습니다.

곱셈법칙과 전확률

경로의 확률을 계산해 전체로 합칩니다

일반적인 곱셈법칙은 P(A∩B)=P(A)P(B|A)입니다. 독립일 때만 조건부확률을 P(B)로 바꿀 수 있습니다. A와 Aᶜ는 전체를 겹치지 않게 나누므로 B로 가는 두 경로를 더하면 P(B)가 됩니다.

이를 전확률법칙이라고 합니다. P(B)=P(A)P(B|A)+P(Aᶜ)P(B|Aᶜ)이며, 여기서는 0.4×0.45+0.6×0.2=0.3입니다. 집단별 비율 45%와 20%를 단순 평균한 32.5%는 전체 비율이 아닙니다. 집단 크기 40%와 60%를 가중치로 사용해야 합니다.

베이즈 정리

조건의 방향을 바꿀 때 기초 비율을 반영합니다

곱셈법칙을 두 방향으로 쓰면 P(A∩B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)입니다. 따라서 P(B)>0에서 P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)입니다. 이것이 베이즈 정리입니다. 가상 목록에서는 0.45×0.40/0.30=0.60입니다.

증거를 보기 전의 P(A)를 사전확률, A일 때 증거 B를 볼 확률 P(B|A)를 우도, 증거를 반영한 P(A|B)를 사후확률이라고 부릅니다. 우도는 이 경우 사건 B의 조건부확률이지만, 이를 A에 대한 확률분포처럼 읽으면 안 됩니다.

이번에는 오류 여부를 확인한 별도 가상 목록 1,000건을 생각해 봅시다. 오류 20건 중 18건을 표시하고, 오류가 아닌 980건 중 98건도 표시하는 탐지 규칙을 가정합니다. 탐지율 P(표시|오류)=90%이지만, 우리가 알고 싶은 P(오류|표시)는 18/(18+98)≈15.52%입니다.

계산식은 (0.90×0.02)/(0.90×0.02+0.10×0.98)입니다. 사전확률 2%를 무시하면 결과를 크게 오해할 수 있습니다. 이 예제의 오탐률 10%는 ‘오류 아닌 건 중 표시된 비율’이며 ‘표시된 건 중 오류 아닌 비율’과 다릅니다. 탐지 규칙과 비율은 모두 가정이며 CH2 Macro의 성능 평가가 아닙니다.

확인 문제

먼저 분모와 조건의 방향을 말해 보세요

1. A 또는 B에 해당하는 거래는 몇 건인가요?
   답과 해설

   40+30−18=52건입니다. 둘 다 해당하는 18건을 두 번 세지 않도록 한 번 뺍니다.

2. ‘주거 중 큰 면적’과 ‘큰 면적 중 주거’의 비율은 각각 얼마인가요?
   답과 해설

   각각 18/40=45%, 18/30=60%입니다. 조건에 따라 분모가 달라집니다.

3. 배반인 두 사건의 확률이 모두 양수일 때 독립일 수 있나요?
   답과 해설

   아니요. 교집합 확률은 0이지만 두 확률의 곱은 양수이므로 독립 조건이 성립하지 않습니다.

4. 오류 탐지율이 90%이면 표시된 거래의 90%가 오류인가요?
   답과 해설

   아니요. 조건의 방향이 반대입니다. 예제에서는 실제 오류의 기초 비율과 오탐을 반영하면 18/116≈15.52%입니다.

CH2 Macro에서 읽기

필터를 적용하면 통계의 기준 집단도 바뀝니다

CH2 Macro에서 지역·기간·유형·면적 필터를 적용하면 결과를 읽는 분모가 달라집니다. ‘선택한 거래 중 주거의 비율’과 ‘전체 지역 거래 중 주거의 비율’을 혼동하지 마세요. 결측·정정·제외 규칙과 기준 건수도 함께 확인해야 합니다.

필터 결과의 비율을 미래 거래의 발생 확률이나 개별 물건의 가격 상승 확률로 그대로 바꿔 읽을 수는 없습니다. 그런 추론에는 모집단·표집·시간 변화에 관한 별도의 모형과 검증이 필요합니다. 이 장은 확률 계산의 기초를 설명하며 별도의 서비스 예측 기능을 전제하지 않습니다.

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정리와 참고자료

같은 숫자도 무엇을 조건으로 삼느냐에 따라 뜻이 달라집니다

확률은 정한 실험과 사건에 대해 계산합니다. 합집합에서는 중복을 빼고, 조건부확률에서는 분모를 좁히며, 경로에서는 조건부확률을 곱합니다. 독립과 배반을 구별하고 조건을 뒤집을 때는 기초 비율을 반영하세요.

다음 09장 「확률변수와 확률분포」에서는 우연한 결과를 숫자로 나타내고 그 분포를 읽습니다.

• OpenStax, Introductory Statistics 2e §3.1 — 표본공간·사건·조건부확률의 용어.
• OpenStax §3.3 — 확률의 덧셈·곱셈법칙.

설명과 그림은 별도 가상 집계값으로 직접 작성했습니다. 실제 거래 통계나 서비스 성능이 아닙니다. 참고자료 확인: 2026-10-07.