핵심 이해
평균적 관계를 기울기와 절편으로 표현합니다
단순선형회귀는 설명변수 X 하나와 결과변수 Y 사이의 관계를 직선으로 요약합니다. 모집단 모형은 Y=β₀+β₁X+ε, 자료로 적합한 식은 ŷ=b₀+b₁x로 구분합니다. β는 미지의 모수, b는 추정 계수, ε는 모형의 오차입니다.
면적을 X, 단가를 Y로 정해 보겠습니다. 같은 면적에서도 거래 조건에 따라 단가가 다르므로 모든 점이 직선에 놓일 필요는 없습니다. E[ε|X]=0이라는 조건이 맞으면 직선은 조건부 평균 E[Y|X]을 나타냅니다. 이 조건을 확인하지 않은 적합선은 관측 관계의 기술적 요약으로 읽어야 합니다.
기울기와 절편
계수에는 단위와 적용 범위가 있습니다
공통 30건을 적합하면 b₀=232.50902…, b₁=-0.68430…입니다. 면적이 1㎡ 큰 거래의 적합 단가는 평균적으로 약 0.684만원/㎡ 낮게 나타납니다. 이는 다른 조건을 통제한 면적의 인과효과가 아닙니다.
기울기의 단위는 ‘Y 단위/X 단위’이므로 여기서는 (만원/㎡)/㎡입니다. 10㎡ 차이에 대한 적합값의 차이는 10b₁≈-6.84만원/㎡입니다. 상관계수와 달리 단위 변환에 따라 계수의 숫자가 바뀝니다.
절편은 X=0일 때의 적합값입니다. 관측 면적은 22~310㎡이므로 면적 0의 절편을 실제 0㎡ 물건의 단가로 해석하지 않습니다. X를 평균에서 뺀 X−x̄로 중심화하면 절편이 ȳ가 되어 해석하기 쉬워지고, 같은 직선의 적합값과 기울기는 유지됩니다.
잔차
오차와 잔차, 적합값과 관측값을 구분합니다
잔차 eᵢ=yᵢ−ŷᵢ는 관측값에서 적합값을 뺀 값입니다. 양수면 점이 직선 위, 음수면 아래에 있습니다. 진짜 조건부 평균에서의 오차 εᵢ는 모르는 값이고, 표본으로 맞춘 직선에서의 잔차는 계산 가능한 값입니다.
가상 세 점의 직선 ŷ=1.5x에서 잔차 합은 0이지만 모든 점이 직선에 맞는 것은 아닙니다. 양수·음수의 상쇄를 피하려고 제곱합니다. 잔차제곱합 SSE=0.5²+(−1)²+0.5²=1.5입니다.
OLS는 Y방향의 세로 잔차를 최소화합니다. X와 Y를 뒤집어 적합하면 다른 문제를 풀기 때문에 원래 기울기의 역수가 되는 것은 일반적이지 않습니다.
최소제곱법
잔차제곱합이 가장 작은 계수를 찾습니다
최소제곱법(OLS)은 SSE=Σ[yᵢ−(b₀+b₁xᵢ)]²를 최소화합니다. X에 퍼짐이 있을 때 Sxx=Σ(xᵢ−x̄)², Sxy=Σ(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)로 놓으면 b₁=Sxy/Sxx, b₀=ȳ−b₁x̄입니다.
공통 자료의 x̄=125.93333…, ȳ=146.33333…, Sxx=173,445.86667…, Sxy=-118,688.33333…입니다. 이를 대입한 SSE는 111,542.70입니다. 중간값은 반올림하지 않았습니다. 계수·잔차·예제 JSON을 확인할 수 있습니다.
절편을 포함한 같은 자료의 OLS 직선은 (x̄,ȳ)를 지나고 잔차 합은 0입니다. 모든 X가 같으면 Sxx=0이어서 기울기를 고유하게 정할 수 없습니다. 두 개의 서로 다른 X만 있으면 직선을 계산할 수 있어도 오차 변동을 추정할 잔차 자유도가 없어집니다.
적합값과 예측
계산한 한 점은 개별 거래의 보장값이 아닙니다
면적 100㎡의 적합 단가는 164.08, 200㎡는 95.65만원/㎡입니다. 반올림한 식으로 다시 계산하면 마지막 자릿수가 달라질 수 있으므로 내부 계산에는 원래 계수를 사용합니다.
같은 X의 평균적 수준을 추정하는 것과 새 거래 한 건을 예측하는 것은 다릅니다. 평균 반응의 신뢰구간은 회귀선의 추정 불확실성을, 개별 예측구간은 그 위에 개별 오차 변동까지 반영합니다. 적합값 한 개만으로 정확성을 판단하지 않습니다.
학습 자료에 맞춘 오차가 작다는 것이 새로운 지역·시점에서도 잘 맞는다는 뜻은 아닙니다. 실제 예측 성능은 별도 검증 자료와 적절한 시간·집단 분할로 확인해야 합니다.
내삽과 외삽
자료가 없는 영역에서는 모형 가정이 더 중요해집니다
관측 X 범위 안에서 계산하는 것을 내삽, 밖으로 연장하는 것을 외삽이라고 합니다. 범위 안에서도 관측이 드문 구간이나 다른 거래 유형에는 주의가 필요합니다.
400㎡에서 식은 -41.21만원/㎡를 냅니다. 단가가 음수가 되는 이 값은 시장의 타당한 가격 전망이 아니라 직선을 범위 밖까지 연장한 산술 결과입니다. 외삽 결과를 단순히 0으로 잘라내기보다 모형의 범위와 함수 형태를 재검토해야 합니다.
상관과 설명력
기울기·상관·R²는 서로 다른 정보를 담습니다
절편을 포함한 단순 OLS에서 두 변수의 분산이 양수이면 b₁=r×s_y/s_x입니다. r은 단위 없는 선형 결합의 정도, 기울기는 단위가 있는 변화량입니다. 이 특별한 모형에서는 R²=r²=1−SSE/SST이며 SST=Σ(yᵢ−ȳ)²입니다.
공통 자료의 R²는 0.421입니다. 같은 표본의 Y 제곱변동 중 평균만 사용하는 것보다 직선이 줄인 비율을 뜻합니다. 인과적으로 설명된 비율이나 미래 예측의 정확도, ‘정답률’이 아닙니다. 절편 없는 회귀나 다른 평가 상황에는 r² 관계를 그대로 적용하지 않습니다.
R²가 같아도 잔차의 곡선 패턴·이상치·예측 위험은 다를 수 있습니다. 더 자세한 적합도는 21장에서 다룹니다.
계산과 추론의 조건
직선을 계산할 수 있다는 것과 타당한 모형은 다릅니다
OLS 계수 계산 자체에 정규성 가정이 필요한 것은 아닙니다. 하지만 계수의 불편성이나 표준오차·검정·신뢰구간의 타당성을 주장하려면 조건을 구별해야 합니다. 조건부 평균의 선형성, E[ε|X]=0, 적절한 표집과 독립성, 일정한 오차분산 등이 기본 점검 대상입니다. 고전적 작은 표본 t·F 추론에는 정규 오차 가정도 사용합니다.
이분산이 있으면 계수 계산과 별개로 일반적인 표준오차가 부적절할 수 있습니다. 군집·시간 의존성도 그 구조에 맞춰 다뤄야 합니다. 강건한 표준오차를 쓴다고 누락변수나 잘못된 평균 함수가 해결되지는 않습니다.
면적과 단가에는 분모의 공유 구조가 있고, 유형·위치·연식이 섞여 있습니다. 계수의 인과 해석에는 별도 설계와 가정이 필요합니다. 단순회귀가 다른 조건을 자동으로 고정해 주지 않습니다.
큰 관측과 모형 점검
한 점이 직선에 미치는 영향을 확인합니다
공통 자료의 7번을 제외해 다시 적합하면 절편은 200.925, 기울기는 -0.5103입니다. 원래 기울기 -0.6843와 비교하면 민감도를 볼 수 있습니다. 더 보기 좋은 직선을 얻기 위한 삭제가 아니라 원자료·조건·영향력을 확인하는 과정입니다.
X방향에서 멀리 있는 점은 높은 레버리지를 가질 수 있고, 큰 잔차와 레버리지가 결합하면 계수에 강한 영향을 줄 수 있습니다. 잔차가 크다는 사실만으로 영향력을 모두 판단하지 않습니다. 다음 장에서 잔차 패턴과 진단을 자세히 다룹니다.
공통 자료는 출처 미확인 학습 예제이며 적합한 식을 실제 시장의 가격모형이나 개별 적정가로 사용하지 않습니다.
확인 문제
계수의 단위와 예측의 대상을 확인하세요
- 잔차 합이 0이면 모든 점이 직선 위에 있나요?
답과 해설
아니요. 양수·음수가 상쇄될 수 있습니다. SSE와 잔차 패턴을 봐야 합니다.
- 절편은 항상 실제로 관측 가능한 X=0의 의미인가요?
답과 해설
아니요. X=0이 관측 범위 밖이면 물리적 해석이 부적절할 수 있습니다.
- X와 Y를 바꾸면 OLS 기울기는 원래의 역수인가요?
답과 해설
일반적으로 아닙니다. 최소화하는 잔차 방향이 바뀝니다.
- 학습 자료의 R²가 높으면 인과효과와 미래 정확성이 보장되나요?
답과 해설
아니요. 적합도·인과 식별·외부 예측 성능은 별도로 확인해야 합니다.
CH2 Macro에서 읽기
변수·단위·범위를 확인하고 회귀선을 읽습니다
CH2 Macro의 회귀 결과를 읽을 때는 X와 Y의 정의, 로그 등 변환 여부, 관측 단위·기간·유형과 건수, 적용 범위를 먼저 확인하세요. 이 장의 단순선형식이 모든 서비스 모형의 산식이라고 전제하지 않습니다.
회귀선을 시장 관계를 이해하는 요약으로 읽고, 개별 물건의 적정가나 조건 변경의 확정적 효과로 바꾸어 해석하지 않습니다.
정리와 참고자료
식·잔차·가정을 함께 읽습니다
단순 OLS는 세로 잔차제곱합을 최소화하는 직선을 찾습니다. 계수의 단위, 절편의 범위, 개별 예측의 불확실성, 외삽과 영향 관측을 함께 확인합니다.
다음 18장 「잔차와 회귀모형의 가정」으로 이어집니다.
- NIST: Linear Least Squares Regression — 최소제곱의 원리와 적용 한계.
본문과 그림은 공통 학습 자료 및 별도 가상 예제로 직접 작성했습니다. 실제 시장의 가격모형이 아닙니다. 참고자료 확인: 2026-10-08.